第31章 计算圆周率

  “倒数第二题，解：”

  “假设k不是平方数，题干条件变换为a^2-(kb)a+(b^2-k)=0。”

  “假设存在满足上式(a≥b)且(a+b)最小的a、b，可构造方程x^2-(kb)x+(b^2-k)=0。”

  “根据一元二次方程根与係数的关係，易知a+a1=kb，a·a1=（b^2-k），a1是方程的另一个根，且a1=kb-a=（b^2-k)/a。”

  “如果a1=0，则b^2=k，与假设矛盾。”

  “如果a1＜0，此时a1·b＜0，也就是a1·b≤-1，(a1)^2+b^2=k(a1·b+1)≤0，矛盾。”

  “所以a1必然大於0，由此0＜a1=（b^2-k)/a≤（b^2-1)/a≤（a^2-1)/a＜a，找到了一组和更小的解：a1+b小於a+b，这与假设a+b最小矛盾，因此，k为完全平方数，证毕。”

  这道题只要找对了思路，证明起来，其实並不复杂。

  通过一元二次方程的根与係数的关係，先假设最小解，再构造更小解，最后导出矛盾，自然而然就能以反证法完成证明。

  实际上，这种以韦达定理+无穷递降法结合运用的方法，在罗伦的前世叫做韦达跳跃法。

  其核心在於利用方程根的对称性，揭开解的结构性质。在涉及到平方数与整除性的二次不定方程的问题时，可以拿来套著用，其巧妙之处在於，无需显式求解方程，可直接通过逻辑推理来导出结论的必然性。

  而这种方法在数论问题中通常被称之为非构造性证明，在逻辑上具有天然的严谨性。

  所以，罗伦刚才在看到这道题的第一眼，其实脑海里便蹦出了『这题难度不低啊，但用韦达跳跃可以直接秒了』的想法。

  在精神能量的加持下，罗伦口述出来的內容显化成一排排漂浮在半空中的字符，而后隨著罗伦的注视飘忽挪转，很快扑向那面黑色面板，最终烙印在了其上。

  下一瞬，黑色面板蠕动不停，其上辉光四溢，十分刺目。