第49章 得证

  “现在，需要的递推公式出来了，接下来就是进一步的区分、验算、缔造，看看一开始的想法是否行得通。”

  “在这里，我们需要分情况討论。当n是偶数项，n=2m，m是正整数时，通过不断使用递推公式可得：p2m=(2m-1)/2mx(2m-3)/(2m-2)x……x1/2xp0，且p0=∫(0→π/2)dx=π/2。”

  “当n是奇数项……p2m+1……p1=1。”

  “这时，因0≤sinx≤1在（0，π/2）上成立，可知p2m+1≤p2m≤p2m-1，然后，再计算当m趋於无穷时p2m+1/p2m-1的情况，並將两者的表达式代入简化……”

  “最终可得，当m趋於正无穷时，π/2=n（n=1→m）(2n)^2 /((2n-1)(2n+1))，由此，原式得证。”

  写到这里，罗伦停了笔。

  其实正常情况下，证明关於π/2的无穷乘积的常规思维逻辑，是要通过欧拉正弦乘积公式来解决的，那才是標誌性的微积分思维链。

  也就是对sinx/x进行无穷乘积展开，然后进行变换。

  不过，正弦乘积无穷展开的方法，涉及到一些比较麻烦的东西——正弦函数的无穷乘积收敛性与零点问题。

  罗伦的做法，则是先基於积分的分部积分法得到递推关係，隨后再利用函数的单调性，並通过求极限来推导出最终的乘积公式。

  他这样做，在微积分体系完善的情况下，算是完美的证法，可在微积分体系不完善的情况下，那肯定是有瑕疵的，但好歹是规避了零点问题，把瑕疵与不严谨限定在了一个问题上——极限的概念。

  这个问题说大也大，大到可以把微积分打成错误学说的地步。

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  说小也小，小到即便不用管它微积分依旧能蓬勃发展。

  现在，就看算术迷宫的规则，给不给判定通过了。